\chapter{物理学本源}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{theorem}{0}
\setcounter{definition}{0}

本章我们从简单的力学模型入手, 进一步体会有限元的思想来源. 考虑一个长度
为 $L$ 的均质弹性杆, 一端固定在天花板, 另一端垂直向下, 且受到拉力
$P$. 杆处于力平衡状态. 如何确定杆上各点处的受力和位移? 这里我们假设杆
的弹性模量为 $E$, 截面积 $S$ 为常数, 密度 $\rho$ 为常数. 以杆的固定端
为原点, 垂直向下建立数轴, 并令所求 $x$ 点位移为 $u(x)$, 受力为
$\sigma(x)$, $x \in [0, L]$. 如图 \ref{fig::rod_movement} 所示. 

\begin{figure}[!ht]
  \centering
    \begin{tikzpicture}
      \draw[line width=1pt] (-1,4) -- (1,4);
      \foreach \x in {-0.8,-0.6,...,0.6}
      \draw[line width=1pt] (\x,4) -- (\x+0.2,4.2);
      \draw[line width=1pt] (-0.1,4) -- (-0.1,1);
      \draw[line width=1pt] (0.1,4) -- (0.1,1);
      \draw[line width=1pt] (-0.1,1) -- (0.1,1);
      \draw[line width=1pt,->] (0,1) -- (0,0) node[anchor=west]{$P$};
      \draw[line width=1pt,dashed] (0,1) -- (0,4) node[anchor=north west]{$O$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{均质杆的应力和位移分布.}
    \label{fig::rod_movement}
\end{figure}

假设在 $x$ 点, 杆的应变率为 $\epsilon(x)$, 则
$$
\epsilon(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{u(x + \Delta x) -
  u(x)}{\Delta x} = \frac{du}{dx}.
$$
由 Hooke 定律,
$$
\sigma(x) = E\epsilon(x).
$$
因此受力和位移, 本质上只要求位移就可以了.

